29 Januari 2010

sinau

ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH DAN FUNGSI IMPLISIT

PENGANTAR
Teorema di kalkulus 1:
Jika g mempunyai turunan di Xn dan f mempunyai turunan di U=g(x), maka :

Aturan rantai dapat dinyatakan dengan notasi Leibniz, yaitu :


I. ATURAN RANTAI
• Teorema Aturan Rantai I
Jika fungsi x=x(t) dan y=y(t) terdiferensialkan di dan fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)=(x(t),y(t)) , maka fungsi z=g(t)=f(x(t),y(t)) juga terdiferensialkan di t dengan aturan :

dimana dihitung di (x,y)= (x(t),y(t)).
Aturan rantai I dapat ditampilkan dalam bentuk diagram pohon berikut

x t

z 2 peubah
y t
Bukti :
Karena fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di (x,y) Df, maka :

Dimana , dengan
dan
untuk berlaku ,
karena dan maka

Akibatnya dan adalah fungsi dari dengan
dan

Juga untuk , diperoleh
dan .
Dengan menggunakan semua hasil ini pada bentuk

diperoleh ….. terbukti
Contoh :
Andaikan z=x3y, dimana x=2t dan y=t2 tentukan !
Penyelesaian : ,

Dengan menggunakan aturan rantai I diperoleh :

=(3x2y)(2)+(x3)(2t)
=3(2t)2(t2)2+(2t)32t
=24t4+16t4
=40t4

• Aturan rantai I untuk 3 peubah
Jika fungsi x=x(t), y=y(t), dan z=z(t) terdiferensialkan di t pada daerah D dan fungsi u=f(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) Df maka u sebagai fungsi dari t.
u=g(t)=f(x(t),y(t),z(t))
terdiferensialkan di t D dengan aturan :

Dalam betuk diagram pohon digambarkan :

x t

u y t


z t
Contoh :
Andaikan w=x2y+y+xz dimana x=cos , y= sin dan z= . Tentukan !
Penyelesaian :
Jelas
=(2xy+z)(-sin )+(x2+1)(cos )+(x)(z )
=

• Teorema Aturan Rantai 2
Jika fungsi u=u(x,y) dan v=v(x,y) terdiferensialkan di titik (xo,yo) pada daerah Df dan fungsi z=t(u,v) terdiferensialkan di (xo,yo) pada daerah Df dengan uo=(xo,yo) dan vo=v(xo,yo), maka fungsi z=g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) terdiferensialkan di titik (xo,yo) dengan aturan :


dimana turunan parsial terhadap u dan v dihitung di (uo,vo) sedangkan terhadap x dan y dihitung di (xo,yo).
Dalam bentuk diagram pohon digambarkan
x

u y

z


v x

y
Bukti :
Untuk z terhadap x.
Buatlah y tetap, tulis y=yo, maka u dan v hanyalah fungsi dari x, yaitu u=u(x,yo) dan v=v(x,yo). Dipunyai fungsi u dan v terdiferensialkan di xo dengan aturan


Gantikan hasil ini pada fungsi z=g(x,y) yang diketahui kemudian gunakan aturan rantai 1 di titik dan ( ) maka diperoleh :
, dan


Contoh :
Jika , dimana x=st, y=s-t, dan z=s+zt, tentukan !

Penyelesaian :

= (2x+y)(s)+(2x+y)(-1)+(2z)(2)
= (2st+s-t)(s)+(2s-2t+st)(-1)+(2s+4t)(2)
= .

• Teorema Aturan Rantai 3

Misalkan , D daerah di dan , E daerah di sehungga Jika fungsi F terdiferensialkan di dan fungsi G terdiferensialkan di maka fungsi komposisi terdiferensialkan di X dengan aturan
( )’
dimana


Catatan
1. Dalam bentuk matriks Jacobi, rumus terakhir ditulis sebagai

2. Diagram panah dari komposisi
3. Dengan cara seperti aturan rantai 1 dan 2 , kita dapat menyajikan aturan rantai ini dalam diagram pohon, yang penggunaanya cukup praktis.

Bukti:
Karena fungsi F terdiferensialkan di maka terdapat suatu transformasi linear dari ke dari fungsi vektor yang memenuhi

Karena fungsi G terdiferensialkan di , maka terdapat suatu transformasi linear dari ke dan fungsi vektor E(H) yang memenuhi

Kita akan menentukan suatu transformasi linear dari ke dan suatu fungsi vektor E(H) yang memenuhi

Misalkan

Maka


Dengan menggunakan G’(F(X)) linear kita sampai pada kesimpulan

Ambillah

Dan

Kemudian buktikan
Dengan menggunakan lemma 3-3-3 diperoleh

Karena , maka
Dari kedua hasil diperoleh
Dari definisi K=K(H) diperoleh , akibatnya terbatas. Ini berarti yang mengakibatkan Dari sini diperoleh , sehingga kita sampai pada ini memberikan .



II. TURUNAN BERARAH
Definisi :
Misalkan fungsi z=f(x,y) terdefinisi pada daerah dan U=(u,v) suatu vektor satuan di R2. Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u ditulis
Du(x,y) atau Du(x,y)
didefinisikan sebagai bila limit ini ada.
Catatan :
1. Jika vektor satuan ditulis dalam bentuk
,
maka turunan berarah dari z=f(x,y) di x(x,y) dalam arah vektor satuan u dapat didefinisikan sebagai :
.
2. Jika x=(x,y), maka (x+hu, y+hv)=x+hu, sehingga turunan berarah dari fungsi z=f(x,y) di x=(x,y) dalam arah vektor satuan dapat dinyatakan :
.
3. Sesuai dengan definisi di atas turunan berarah dari fungsi z=f(x,y) di A=(a,b) pada daerah dalam arah vektor satuan u didefinisikan sebagai
, bila limit ada.
Cara menghitung turunan berarah
Turunan berarah dari fungsi z=f(x,y) di titik (x,y) pada suatu daerah D dalam arah vektor satuan u=(u,v) dapat dihitung dengan salah satu cara berikut :
1. Misal, g(t)=(x+tu,y+tv), maka
, bila limit ini ada.
2. Dalam kasus fungsi f terdefinisikan di titik (x,y) , aturan rantai dengan r=r(t)=x+tv dan s=s(t)=y+tv memberikan

karena untuk t=0 berlaku r=x dan s=y, maka

Teorema 3.3.6 Menghitung Turunan Berarah dengan Vektor Gradien
Diketahui fungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di titik (x,y) pada daerah maka turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan v di titik (x,y) :

dimana

Turunan berarah dan bidang singgung permukaan
Syarat terdapatnya bidang singgung pada permukaan s:z=f(x,y) di titik (a,b,c) memuat (a,b). Syarat ini memberikan terdapatnya turunan berarah di titik (a,b,c) untuk sebarang vektor satuan u.
Turunan berarah sepanjang suatu kurva
Definisi 3.3.7
Misal fungsi z=f(x,y) terdefinisi pada daerah yang memuat titik A. Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva yang melalui A didefinisikan sebagai turunan berarah di A dalam arah vektor singgung satuannya.
Berdasarkan definisi ini, turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C yang melalui A adalah , dimana u vektor singgung satuan dari kurva C di titik A.
Turunan berarah dari fungsi scalar lainnya
Definisi 3.3.8
1. Misalkan fungsi tiga peubah u=f(x,y,z) terdefinisi pada daerah dan u=(u,v,w) vektor satuan di R3, turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u, ditulis , didefinisikan sebagai
, bila limit ini ada.
2. Misalkan fungsi skalar w=f(x), X= terdefinisi pada daerah dan vektor satuan di R3
Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u ditulis , didefinisikan
bila limit ada.
3. Misalkan fungsi tiga peubah u=f(x,y,z) terdefinisi pada daerah yang memuat A dan kurva C di R3 melalui A.
Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai , dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.
4. Misalkan fungsi skalar w=f(x), X= terdefinisi pada daerah yang memuat titik dan kurva C di Rm melalui titik A.
Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai , dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.
Teorema 3.3.9 Menghitung turunan berarah dari fungsi skalar dengan vektor gradien.
Jika fungsi skalar fungsi skalar w=f(x), X= terdiferensialkan di titik X pada daerah dan vektor satuan di Um, maka turunan berarah dari fungsi f di titik dalam arah vektor satuan u adalah
.


Arti Geometri Turunan Berarah





























Arti geometri dari turunan berarah dari fungsi z=f(x,y) di A=(a,b) dalam arah vektor satuan u adalah gradient garis singgung di titik P(a,b,f(a,b)) pada kurva C yang merupakan perpotongan antara permukaan s=z=f(x,y) dengan bidang r yang dibentang oleh garis (k,u) dan melalui titik P.

Contoh soal :
Tentukan turunan bararah dari fungsi dalam arah vektor satuan yang membentuk sudut dengan sumbu X positif di titik (x,y) dan di titik (1,-1)!




Penyelesaian :
Vektor satuan :


Cara kedua :
Turunan parsial pertama dari fungsi f terhadap peubah x dan y adalah

Berdasarkan teorema 3.3.6 diperoleh turunan bararah dari fungsi f di (x,y) adalah


Sehingga turunan berarah dari fungsi f di (1,-1) adalah

III. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Dipunyai persamaan berbentuk f(x,y)=0, menyatakan :
o y sebagai fungsi implisit dari x, dan
o x sebagai fungsi implisit dari y.
Fungsi yang disajikan dengan y=f(x), variabel x dan y terpisah di ruas yang berbeda. Fungsi yang disajikan seperti ini disebut fungsi eksplisit. Fungsi yang tidak demikian disebut fungsi implisit.
 y sebagai fungsi implisit dari x
Bila fungsinya dituliskan sebagai y=f(x), maka diperoleh F(x,f(x)) = 0. Fungsi F terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh



 x sebagai fungsi implisit dari y
Bila fungsinya dituliskan sebagai x=g(y), maka diperoleh F(g(y),y) = 0. Fungsi F terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh


Atau melalui diferensial total
F(x,y)=0 maka d F(x,y)=0

Turunan fungsi implisit dari fungsi 2 peubah termuat secara implisit dalam fungsi 3 peubah.
Misalkan u=F(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z) pada , dan diketahui F(x,y,z)=0, maka ada tiga kasus.
1). Kasus z = f(x,y)
Diperoleh persamaan
F(x,y,f(x,y)) = 0 diperoleh
dan
Atau dapat dituliskan

dengan
2). Kasus y = f(x,z)
Diperoleh persamaan
F(x, f(x,z),z) = 0 diperoleh
dan
Atau dapat dituliskan

dengan
3). Kasus x = f(y,z)
Diperoleh persamaan
F(f(y,z),y,z) = 0 diperoleh
dan
Atau dapat dituliskan

dengan

contoh soal
Jika persamaan secara implicit mendefinisikan fungsi z=f(x,y) , y=g(x,z) , dan x=h(y,z). tentukan turunan parsial fx, fy, gx, gz, hy, hz!
turunan parsial pertama dari fungsi F terhadap peubah x, y, dan z adalah
fx (x,y,z) = 24x2+6y2+2z4
fy (x,y,z) = 27y2+12xy
fz (x,y,z) = 12z3+8xz3

untuk fungsi yang mendefinisikan z=f(x,y), maka


untuk fungsi yang mendefinisikan y=g(x,z) , maka



untuk fungsi yang mendefinisikan x=h(y,z), maka

Tidak ada komentar:

Posting Komentar